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Sur les mathématiques

Sur les mathématiques

Les mathématiques sont de la pâte à modeler. On leur fera toujours dire ce que l’on veut leur faire dire. Les mathématiques ont leur rhétorique. Il suffit de changer les prémisses.

Considérations sur la perception des quantités

Il y a une différence à identifier globalement l’image d’un lot d’objets et identifier individuellement les objets d’un lot et les dénombrer.

Lorsque les collections d’objets sont trop grandes pour pouvoir percevoir leur quantité en un coup d’œil, il est nécessaire de les séparer puis de les regrouper en amas plus petits pouvant être appréhendés.

Pour pouvoir les dénombrer il faut pouvoir les comparer à des lots de référence représentés par des doigts, phalanges, cailloux, bâtonnets, entailles. Lot de 5, 10, 12, 60, 20 qui sont des supports de référence.

Un arrangement géométrique permet de reconnaître plus rapidement un nombre d’objets sans avoir besoin de passer par le dénombrement, comme les points dessinés sur un dé.

Il existe trois processus cognitifs d’appréhension de la numérosité d’un ensemble d’objets :
– la subitisation est une appréhension immédiate des petites numérosités (un, deux, ou trois objets);
– l’estimation permet d’évaluer, d’une manière approximative, la numérosité d’un ensemble. Il est possible d’estimer efficacement et rapidement des ensembles même très grands. Toutefois, le nombre perçu ne correspond pas exactement au nombre effectivement présenté,
l’imprécision de l’estimation croît avec la grandeur du nombre à estimer.
– le comptage permet d’énumérer avec précision un ensemble quelconque. Il consiste à apparier, un par un, chacun des objets énumérés avec une liste de référence, nombres, doigts, cailloux, entaille, etc.).

Survol de l’Histoire

Naissance de la notion de nombres

Le plus ancien système de numération de l’humanité est le système unaire, il n’utilise qu’un seul chiffre, en forme de bâton ou d’encoche, se répétant autant de fois que nécessaire pour représenter un nombre.

C’est au Paléolithique, il y a 30 000 ans, qu’on trouve les premières entailles sur des supports tels que les os ou le bois, permettant de conserver les nombres.

Les hommes préhistoriques pratiquaient la taille sur des os ou des bouts de bois pour compter les têtes de leurs troupeaux, le nombre de jours entre deux pleines lunes.

L’homme, dans les sociétés primitives comptait sommairement avec « un », « deux », « beaucoup ». « Beaucoup » se dit « tres » en latin : ce mot subsiste en français : « très » et « trois ». Ils appréhendaient les quantités et non pas les nombres. Ils avaient une perception non-symbolique du nombre.

Puis on se mit à trouver des moyens de dénombrer de plus grandes quantités grâce au truchement de tas cailloux ou de séries d’entailles.

Les tas de cailloux évolueront en bouliers et abaques, les entailles ou bâtonnet en chiffres romains. Les entailles en cunéiforme.

Pendant très longtemps, l’unité de calcul fut le caillou ou le galet, calculus en latin, même lorsqu’on lui substituait des bâtonnets plus aisés à dessiner, ce qui conduira plus tard à l’invention des chiffres écrits. Ce terme latin est à l’origine du mot calcul.

Huit mille ans avant notre ère, dans les cités-états mésopotamiennes du Néolithique, les habitants utilisent des jetons en argile (calculi) de différentes formes pour dénombrer des objets lors de transactions commerciales. Les calculi sont insérés dans des bulles d’argile séchée.

À la fin de IVe millénaire avant notre ère, on se contente d’une tablette moins encombrante sur laquelle est apposée un sceau-cylindre et des pictogrammes représentant la quantité et la qualité des marchandises.

Le principe est une correspondance terme à terme, qui consiste à associer à chaque élément de l’ensemble à compter (ex : moutons), des éléments d’une autre variété (cailloux, doigts, …) plus facilement manipulables.

Remplacer des quantités d’objets par des représentations

En Elam, sur le plateau iranien, près du golfe persique, vers le 4 e millénaire av notre ère, des comptables eurent l’idée de remplacer les cailloux par des objets : un bâtonnet pour l’unité, un disque pour les dizaines, une boule pour les centaines, etc… Les Sumériens firent de même à peu près à la même époque, comme leur système était sexagésimal, les représentations changèrent : façonnés en argile, ce fut un petit cône pour 1, une bille pour 10, un grand cône pour 60, un grand cône perforé pour 600, une sphère pour 3600, etc…

Puis on grava symboliquement sur des tablettes d’argiles les billes et les cônes. Un trou circulaire pour la bille, une encoche pour un cône, un cercle pour une sphère. C’est ainsi que, vers 3600 av notre ère, naquirent les chiffres.

Les bases des systèmes numériques

l’idée de relation entre les quantités, prend naissance avec les mathématiques chez les mathématiciens babyloniens et grecs.

Au IIIe siècle,Les chiffres de 1 à 9 apparaissent en Inde dans des inscriptions de Nana Ghât.
Leur système de numération étant positionnel.

Un point en lieu et place de notre zéro était utilisé par les astronomes babyloniens, il marquait une position vide, mais il n’était pas considéré comme un chiffre. Il ne peut y avoir de nombres négatifs sans zéro. Ni les Babyloniens, ni les Égyptiens, ni les Grecs, ni les Arabes, n’ont disposé du concept des nombres négatifs.

En 628, dans un traité d’astronomie appelé le Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta (598 – 660) définira le zéro comme la soustraction d’un nombre par lui-même (a – a = 0). Il établira aussi qu’un nombre multiplié par zéro est égal à zéro. A cette époque, on l’appelle « sunya » qui se traduit par « vide » en sanskrit. Les Indiens utilisent alors les nombres négatifs pour des besoins comptables. Les biens étaient représentés par des nombres positifs et les dettes s’inscrivaient comme des quantités négatives.

Les chiffres, dit arabes, sont de type logographique, le symbole « 1 » se prononce de façon différente dans chaque langue, mais s’écrit avec le même signe dans toutes les langues.

Ces chiffres doivent leur nom du fait qu’ils proviennent de l’ouvrage du perse Al-Khawarizmi, Traité du système de numération des Indiens (rendu accessible par ses traductions en latin, dont De numero indorum).

Ce mathématicien perse du neuvième siècle, Al-Khwarizmi a été le premier à noter et exploiter ces algorithmes arithmétiques. Le mot « algorithme » est dérivé d’Al-Khwarizmi.

En 1200, le mathématicien italien Fibonacci, qui introduit le système décimal en Europe écrivait : «   La méthode des Indiens surpasse toute méthode connue pour calculer. C’est une méthode fantastique. Ils font leurs calculs en utilisant neuf chiffres et le symbole zéro.  »

Notre système décimal, venant de l’Inde de l’Ouest, via les Arabes. C’est au XIIIème siècle qu’il pénétra en Italie, adoptée par les commerçants de Florence. Son emploi n’est généralisé qu’au XVIe siècle.

L’histoire des nombres complexes commence vers le milieu du XVIe siècle avec une première apparition en 1545, dans l’œuvre de Cardan, d’une expression contenant la racine carrée d’un nombre négatif, nombre qu’il appelle sophistiqué.

Raphaël Bombelli, en 1572 dans son Algebra, met en place les règles de calcul sur ces nombres que l’on appelle alors impossibles avant de leur donner le nom d’imaginaires. Il les utilise pour résoudre les équations du troisième degré.

Durant trois siècles, les nombres complexes sont regardés avec méfiance, ils ne sont pas considérés comme des nombres, mais ils permettent des raccourcis en algèbre et calcul infinitésimal.

François Viète systématise la notation des paramètres d’une équation par des symboles. Il fonde ainsi l’algèbre nouvelle ou « logistique spécieuse » Dont l’acte fondateur est l’édition en 1591 de l’In artem analyticem isagoge.

Le concept de fonction s’est dégagé petit à petit dans quelques ouvrages tels : « La latitude des formes » d’Oresme (XIVe siècle), l’étude de Galilée sur la dépendance de la vitesse par rapport au temps (vers 1640), les expressions algébriques liées aux courbes chez Descartes.

Newton vers 1670 formule un terme propre en usant du mot « genita » pour désigner une quantité obtenue à partir d’autres quantités.
Leibniz, dans deux textes en latin des « Acta cruditorum » de 1673 et 1692, use du vocable  « functio, functiones » dans un cadre géométrique.
Jean BERNOULLI (1667-1748) propose la notation : Φx

Le mathématicien allemand DIRICHLET Gustav Peter Lejeune (1805-1859), introduit la fonction discontinue partout.

Cette histoire est chaotique. La construction des chiffres, des nombres, des opérateurs et des représentations s’est faite par tâtonnements, résistances, abandons, redécouvertes.

Résumé de l’histoire

Nommer les quantités
Étalonner les quantités
Symboliser les quantités
Créer les opérateurs arithmétiques
Créer les opérateurs logiques
Dérouler les algorithmes

Réalité des mathématiques

Toutes déductions mathématiques partent d’un axiome, si l’axiome est faux la déduction est fausse.

Artifice théorique, les mathématiques créent leur propre réalité.

Les constructions mathématiques sont des outils pour mettre le réel dans les filets de la pensée humaine.

De temps en temps on arrive à construire des outils mathématiques qui épousent et simulent des parties de réalité, pour arriver péniblement à ajuster un maillage sur l’univers et ses composants, c’est de la haute couture.

Le rapport entre la physique et les mathématiques

La physique découpe le réel en éléments discrets allant de l’infiniment grand à l’infiniment petit, auxquels elle affecte des dimensions étalonnées, puis elle dénombre ces morceaux. Puis elle décrit les mouvements de ces morceaux de réel (objets). En ayant préalablement créée des étalons de référence.

Pour les mouvements des objets, tout se résume en termes de déplacement relatif qui définisse la vitesse.

Les mathématiques se sont construites autour des nombres.

Les nombres permettent de dénombrer des éléments et d’établir des relations de grandeurs et de positionnement entre eux à l’aide d’objets étalons (mètre, kilo,etc.).

le nombre sert à exprimer et calculer des grandeurs et établir des proportions, les fonctions mettent en relation des valeurs.

Tout mouvement d’un objet est un parcours, une oscillation est un parcours, une rotation est un parcours et tout parcours est mesurable.

L’algorithme n’est pas le réel

Galilée : « le réel s’écrit en langage mathématique »

On attribue à Galilée la phrase « la nature est un livre écrit en langage mathématique ».

Cette phrase de Galilée a un parti pris métaphysique, où les mathématiques sont utilisées comme outil d’intelligibilité du monde. Les mathématiques sont un langage pour parler de la nature physique. Les algorithmes sont une suite d’instructions qui aide à modéliser le réel. Cette fonction est très utile en science, mais aboutit à un « modèle » qui ne peut pas se substituer au réel, car son élaboration nécessite des choix : parmi un grand nombre de possibilités quels paramètres utiliser ?, quelles données retenir ?

La construction des chiffres, des nombres, des opérateurs et des représentations est chaotique.
On aurait pu construire un tout autre formalisme.

Pour le mathématicien, peut-être considéré comme un nombre tout objet symbolique susceptible d’être manipulé avec des opérations logiques.

À partir du moment où l’on a donné un nom et attribué un signe pour désigner des quantités, puis donner un nom et attribué un signe à des opérateurs logiques, la mécanique du raisonnement déductif se met en marche de façon automatique comme un train roulant sur des rails. Un ordinateur peu faire le travail. Prétendre que les mathématiques précèdent le réel est de l’ordre du mysticisme.

L’adéquation d’un algorithme avec l’appréhension d’une facette du réel se fait par empirisme en posant des hypothèses et en vérifiant par l’expérience que l’exécution de cet algorithme est bien prédictif et valider ainsi que tout se passe bien comme-si. Trouver le bon algorithme se fait avec un chausse pied.

Comment un algorithme peut se trouver en adéquation avec des facettes du réel ?
Cette correspondance se fait par la création des nombres d’une part et le découpage en éléments discrets de la matière dont les dimensions sont ajustées sur des unités d’étalonnages.

On a structuré les nombres et la matière de façon équivalente, découpage en unité et regroupement par lot.
Ce découpage ne donne pas une définition des choses mais une description des équivalences qui les relient.

Les outils et règles de la logique mathématique permettent à partir de prémisses d’obtenir un résultat lié à ces prémisses. Ainsi les algorithmes peuvent générer des nombres intermédiaires incompréhensibles comme les nombres complexes qui se révèlent être des raccourcis qui mènent au résultat final.

Découpage du monde en morceaux afin que tout soit dénombrable, comptage à travers la symbolisation de collections, création des étalons pour chaque type de morceaux afin de rendre tout relatif par rapport à ces étalons de référence ( mètre, kilo, seconde, etc.).

Quand on examine comment ils se sont construits. Les algorithmes ne sont pas le réel.

« Toutes choses sont des nombres. »
« Tout l’univers repose sur l’ensemble des entiers naturels. »
École des pythagoriciens

« outre les objets sensibles et les idées, Platon admet des êtres intermédiaires, les êtres mathématiques, distincts des objets sensibles, en ce qu’ils sont éternels et immobiles »

« Platon est d’accord avec les Pythagoriciens ; que les nombres soient les causes de l’essence des autres êtres » Aristote – Métaphysique, A, 6

« La plupart des mathématiciens et des théoriciens de la physique…(voient le monde)…comme une structure que les lois mathématiques gouvernent avec précision. Ainsi croient-ils qu’il convient de concevoir le monde physique comme émergent d’un monde mathématiques, lui-même intemporel. »
Roger Penrose – Les deux infinis et l’esprit humain – chapitre 1

L’humanité a mis plusieurs millénaires pour formaliser les nombres.

Au vu de l’histoire chaotique de la construction des mathématiques et des difficultés à trouver des algorithmes qui permettent de mailler très partiellement quelques aspects du réel, prétendre que les mathématiques précèdent le réel relève d’un manque de lucidité.

Tenaillés par leur désir de s’élever au plus haut, certains cerveaux sont poussés à faire passer leur science du statut d’outil descriptif au statut d’esprit créateur, de force créatrice dont ils seraient les grands prêtres. Comme tous les cerveaux, ils ne sont pas à l’abri de leurs angoisses ou leurs désirs d’instrumentaliser leur science.

Les nombres n’ont rien de magiques. Les mathématiques non rien de magique, juste un train sur des rails.

« Rien de ce qui est extérieur aux mathématiques ne peut se réduire à elles » Jean-Pierre Bourguignon

« Pour autant que les propositions mathématiques se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant qu’elles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité » Einstein

Le langage mathématique se construit sur des inférences déductives, si les prémisses sont faux les conclusions le sont aussi. Le résultat est contenu dans les prémisses. Les algorithmes sont tautologiques.

Il faudrait expliquer en quoi le fait de découper l’espace et les objets en petits morceaux, de mesurer ces morceaux, de les comparer de les mettre en relation donne aux mathématiques d’être considérées par certains comme étant à l’origine du réel.

les mathématiques à travers les algorithmes ne font que tenter de décrire des phénomènes.
Les mathématiques sont le costume dont on affuble l’univers.
Quel que soit le monde que l’on imagine on trouvera toujours un habillage mathématique adéquat.
Les mathématiques sont de la glaise.

Certains croient que le monde est mathématique alors que ce sont les cerveaux humains qui l’ont rendu mathématique.

Résumé

Les mathématiques n’existent que par leur histoire.

Elles sont opérationnelles que par le découpage du monde en référence à des étalons établis comme des axiomes.

Il faut cependant distinguer deux modes de raisonnement de nature différente. Le raisonnement déductif pur est causal et déterministe. Le raisonnement sur les probabilités ne dit plus ce qui va arriver mais ce qui a des chances d’arriver. Ce n’est plus de la causalité, c’est de la distribution, mais les outils qui sous-tendent cette démarche utilise le même formalisme mathématique.

Regard de Claude*